ORIGEN DE LOS NÚMEROS
Antes de existir el lenguaje escrito,
el hombre primitivo se
comunicaba con sus semejantes gesticulando palabras o sonidos, este medio
de lenguaje audible se fue
perfeccionando al cabo de miles de años de su continuo uso, hasta llegar a la
palabra hablada. Cuando éste deseaba recordar un hecho o transmitir un
acontecimiento a sus congéneres, les comunicaba sus ideas por medio de la
pictografía. Esta consistía en representar por medio de objetos lo que se deseaba
expresar ayudado del dibujo o lapintura, de esta manera el
hombre inventó su primera forma de comunicación no hablada,
la escritura pictográfica.
PRIMEROS INICIOS DE LA ESCRITURA
Hace unos 6000 años a.c. los fenicios, sumerios y
babilonios registraban sus hechos y acontecimientos por medio de figuras
dibujadas en arcilla húmeda, este tipo de escritura se llamó cuneiforme, o en
forma de cuña, porque cada trazo del escrito se hacía oprimiendo sobre
tablillas de arcilla que posteriormente secaban al sol o la cocían. El trazo
representaba el objeto dibujado, posteriormente lo convirtió en un símbolo
relacionado con el mismo objeto, esta etapa de la escritura que el hombre
desarrolló, se le llamó ideográfica.
Los egipcios emplearon una escritura ideográfica que se fue
perfeccionando con el tiempo y recibió el
nombre de jeroglífica, este modo de escritura les servía para realizar sus
inscripciones en los templos, tumbas y monumentos.
La escritura ideográfica egipcia tiene dos evoluciones perfectamente
definidas, la primera parte de la evolución de la escritura
ideográfica es convertirse en jeroglífica para acabar en una escritura cursiva
con sus dos variedades, la hierática y demótica. La escritura hierática era una
especie de taquigrafía abreviada de
los jeroglíficos, muy usada entre los sacerdotes para expresarse rápidamente al
no utilizarse el dibujo, cada jeroglífico tenía su correspondiente abreviatura
hierática, dominando el elemento fonético y escribiéndose de derecha a
izquierda.
La demótica o popular se componía de signos tomados de la
hierática, con exclusión casi completa de los jeroglíficos, conservándose casi
completamente los símbolos cuña de sus
caracteres compuestos por ángulos y puntas. La escritura jeroglífica se
utilizaba para las inscripciones monumentales, donde solamente los sacerdotes y
los escribas conocían su significado. En esta escritura jeroglífica se
encuentran unos 24 signos alfabéticos equivalentes a letras sueltas o palabras
completas separadas de una sola consonante, 136 signos silábicos, pero al lado
de estos se encuentran más de tres mil figuras mucho más complicadas. Los
egipcios nunca advirtieron la importancia de su magna invención y no hicieron
mucho uso de ella.
Funciones que se le asignan a los números:
a) Contar: Dar la forma en nuestra mente de números a una determinada cantidad.
b) Ordenar: A un conjunto determinado de elementos que pertenezcan a una
categoría que asignemos previamente.
c) Asignar códigos: Para la identificación de individuos o cosas. Este tipo de
información se emplea para organizar información y con ellos no se realiza
operaciones.
d) Expresar medidas: Por comparación con una unidad elegida previamente.
e) Efectuar cálculos matemáticos.
Conjuntos Numéricos
Números Naturales N
N , es el conjunto de los números naturales (1,2,3,4,5,6,7,8,.....), Se
caracteriza por que tiene un número infinito de elementos, cada elemento tiene
un sucesor, cada elemento excepto el 1 tiene antecesor.
Números Cardinales
Al conjunto de los números naturales se le agrega el elemento numeral cero y
representa a los números cardinales.
Números Enteros Z
El conjunto de los números enteros comprenden 3 conjuntos los enteros
negativos, el conjunto del numeral cero y el conjunto de los enteros positivos
Números Racionales Q
Producto de los problemas en la operatoria matemática que presentaban los
números de forma entera se inventaron los números racionales. Los números
Racionales son todos de la forma a/b, o sea fraccionarios, donde “a”
corresponde a un número entero llamado Numerador y “b” corresponde a otro
número entero llamado Denominador.
Números Irracionales I
I = Q*= Conjunto de números Irracionales
I = Conjunto de números decimales infinitos no periódicos.
A este conjunto de números pertenecen todos aquellos números decimales
infinitos puros, es decir aquellos números que no puedan transformarse en una
fracción.
Sistemas de numeración
Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas de
generación que permiten construir todos los números válidos en el sistema.
Cualquier sistema consta fundamentalmente de una serie de elementos que
lo conforman, una serie de reglas que permite establecer operaciones y
relaciones entre tales elementos. Por ello, puede decirse que un sistema de
numeración es el conjunto de elementos (símbolos o números), operaciones y
relaciones que por intermedio de reglas propias permite establecer el papel de
tales relaciones y operaciones, también le llamamosSímbolos empleados en el
sistema de numeración.
El sistema de numeración griego más antiguo fue el
ático o cacofónico, que era derivado del sistema de numeración romano,
cuyos símbolos eran:
Vale mencionar que los números 50, 500 y 5.000, se obtenían agregando el
signo de 10, 100 ó 1.000 al de 5.
Así por ejemplo, para obtener el número 50 el símbolo utilizado era el del 5 y
el de 10, dando como resultado el símbolo que representaba 50.
Sistema de numeración romana
En relación con los símbolos que los romanos utilizaron para representar
cantidades, fueron letras mayúsculas, que en nuestro sistema de numeración
equivalen a un número específico. Así tenemos,
Ahora bien, para representar cantidades con números romanos, es importante que
tener en consideración ciertas reglas guían su escritura.
Sistema de numeración china
En relación con el sistema de numeración que ellos utilizaron, éste era
decimal, en donde utilizaron las unidades y las distintas potencias de 10 para
representar cantidades. Tenían 9 símbolos distintos para los primeros 9 números
pero ningún símbolo para representar el cero.
Los símbolos eran:
Sistema de numeración maya
Uno de los aspectos que más destacan en el sistema de numeración Maya es que ellos
simbolizaron el cero. Vemos también que éste era de carácter posicional y en
base 20, utilizando principalmente rayas y puntos para simbolizar los números.
En donde el caracol representaba al cero, los puntos al 1 y la raya al 5.
En cuanto a la disposición de las cifras, vemos que éstas se escriben
verticalmente y con las unidades en la parte inferior. Además agruparon
símbolos hasta el 19, asignando a los números mayores un valor según la
posición en que se encuentran. Los símbolos con que representaron los números
hasta el 19 son:
Sistema de numeración iónica
Poseían un sistema de numeración decimal y de carácter posicional. Como
no hicieron uso de la escritura no dejaron un registro gráfico de símbolos que
permitan interpretar cantidades, sin embargo, los Incas se vieron en
la necesidad de registrar los cálculos que iban realizando, por lo que
utilizaron el quipu.
El quipu era un instrumento que poseía cuerdas y que, mediante la
realización de nudos de variados colores y tamaños, les permitió registrar la
información numérica que iban obteniendo
Operación aritmética utilizando el sistema de numeración china
El número 4.361 se representa así:
Propiedades de los números naturales
Los números naturales son aquellos que permiten contar
los elementos de un conjunto. Se trata del primer conjunto de números que fue
utilizado por los seres humanos para contar objetos. Uno (1), dos (2), cinco
(5) y nueve (9), por ejemplo, son números naturales. Existe una controversia
respecto a considerar al cero (0) como un número natural. Por lo general,
la Teoría de Conjuntos incluye al cero dentro de este grupo,
mientras que la Teoría de Números prefiere excluirlo. Podría
decirse que los números naturales tienen dos grandes usos: se utilizan para
especificar el tamaño de un conjunto finito y para describir qué posición ocupa
un elemento dentro de una secuencia ordenada.
Los números naturales están contenidos en un conjunto de forma ordenada,
con lo cual, estos números tienen una relación en cuanto al valor de cada cifra
se refiere, de tal forma que, siendo a el número primero más pequeño y b, otro
de mayor valor se cumple que: a≤b. Esta relación se cumple solamente si existe
otro número natural c tal que: a+c=b. El conjunto de los números
naturales tiene un elemento mínimo, de lo cual se deduce que no es un conjunto
vacío, y por tanto, está totalmente ordenado, puesto que siempre existe un
número natural que cumple la relación de a≤b. En conclusión:
a) Para cualquier elemento a de un conjunto A existe otro elemento b en
A tal que a<b
b) Cualquier subconjunto no vacío de A posee un elemento mínimo.
Luego encontramos otras propiedades referidas a la adición y
multiplicación:
a) Operación interna: La suma de dos números naturales
es siempre otro número natural
b) Existencia del elemento neutro: Un número natural
tal que al ser sumado o multiplicado a otro número natural da ese mismo número.
c) Propiedad conmutativa: El orden de los sumandos no
altera el resultado.
a + b= b+ a a x b=b x a
d) Propiedad asociativa:
(3 +5) +2 =8 +2 = 10 3 + (5+2) = 3 + 7=10
3 x (4 x5) = 3 x 20 =60
(3×4)x5= 12×5= 60
Diferencias de los números enteros y números naturales
También, en sentido amplio, indica el carácter gráfico que sirve para
representarlo; dicho signo gráfico de un número recibe propiamente la
denominación de numeral o cifra. El que se escribe
con un solo guarismo se llama dígito.1
Los números enteros son una generalización del conjunto
de números naturales que incluye números enteros negativos (resultados de
restar a un número natural otro mayor), además del cero. El hecho de que un
número sea entero, significa que no tiene parte decimal.
Un número natural es cualquiera de los números que se usan
para contar los elementos de un conjunto (el cero es el número de elementos del
conjunto vacío). Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el
ser humano para contar objetos.
Aquellos que son mencionados con el nombre de números enteros son
definidos precisamente como aquellos que se utilizan para contar elementos de
cualquier tipo (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8…). Existe un amplio debate hasta hoy en
día sobre si el cero (0) es o no un número entero, dado que su naturaleza es precisamente
definir la ausencia de números.
En contrapartida, los números naturales son los números
enteros y los números negativos, se incluyen por tanto todos los números
(-8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8…). ¿Es el cero un
número entero? El debate persiste en este campo sin una explicación matemática
definitiva.
La solución a priori parece ser diferenciar entre aquellos números
utilizados para contar y aquellos números utilizados en las funciones
matemáticas. De esta forma, los números enteros y los números
naturales sí incluirían al cero por definición, mientras que éste no sería
considerado un número útil para funciones de contar.
Diferencia entre las propiedades de los números racionales y enteros
Números racionales
Propiedad interna.- según la cual al sumar dos números racionales, el
resultado siempre será otro número racional, aunque este resultado puede ser
reducido a su mínima expresión si el caso necesitara.
Propiedad asociativa.- se dice que si se agrupa los diferentes sumandos
racionales, el resultado no cambia y seguirá siendo un número racional.
Propiedad conmutativa.- donde en la operación, si el orden
de los sumando varía, el resultado no cambia.
Elemento neutro.- el elemento neutro, es una cifra nula la cual si
es sumada a cualquier número racional, la respuesta será el mismo número
racional.
Inverso aditivo o elemento opuesto.- es la propiedad de números
racionales según la cual, existe un elemento negativo que anula la existencia
del otro. Es decir que al sumarlos, se obtiene como resultado el cero.
Propiedad interna.- en razón de que al multiplicar números
racionales, el resultado también es un número racional.
Propiedad asociativa.- donde al agrupar diferentes factores la forma de
la agrupación, no altera el producto.
Propiedad conmutativa.- aquí se aplica la famosa frase, el
orden de los factores no altera el producto, entre los números racionales
también funciona.
Propiedad distributiva.- al combinar sumas y
multiplicaciones, el resultado es igual a la suma de los factores multiplicado
por cada uno de los sumandos.
Elemento neutro.- en la multiplicación y la división de números
racionales, existe un elemento neutro que es el número uno, cuyo producto o
cociente con otro número racional, dará como resultado el mismo número.
Números enteros
Los números enteros pueden ser sumados y/o restados, multiplicados y
comparados.
Propiedades
- En ℤ es
posible resolver cualquier ecuación de la forma x + a = b
- En Z hay una nueva operación
( operación binaria interna) la resta
- ℤ tiene
la misma cordialidad que los conjuntos ℕ,ℚ, y
de los enteros gaussianos y algo más, lo mismo que el conjunto de los
números algebraicos
- El conjunto {0}con la
adición es un grupo aditivo
- El conjunto {1, -1} es un
grupo multiplicativo
- El conjunto de los múltiplos
de un número fijo no nulo, diferente de ℤ,
con la adición y multiplicación es un anillo conmutativo sin unidad
- Con los enteros se puede
construir una topología
- Un número entero es un punto
aislado con la topología usual de la recta
- El cero es el único entero
igual a su opuesto ( inverso aditivo)
- En la recta de los enteros
cabe la traslación por el vector (m, n) y la simetría respecto de un
centro arbitrario (cualquier entero).
Números irracionales
Los números irracionales tienen como definición que son números que
poseen infinitas cifras decimales no periódicas, que por lo tanto no pueden ser
expresados como fracciones.
Estos números pueden haber sido descubiertos al tratar de resolver la longitud
de un cuadrado según el Teorema de Pitágoras, siendo el resultado el número, o
raíz cuadrada de dos, el ejemplo de números irracionales más claro e inmediato,
cuya respuesta a su vez posee infinitas cifras decimales que al no poder ser
fraccionado, fue llamado irracional, en el sentido de no poder escribirlo como
una ración o varias raciones o fracciones. Para distinguir los números
irracionales de los racionales, debemos tomar en cuenta que los números racionales si se pueden
escribir de manera fraccionada o racional, por ejemplo: 18/5 que es igual a 3,6
por lo tanto es un número racional a diferencia de la raíz cuadrada de dos en
cuyo resultado se obtienen infinito número de cifras decimales, y su
fraccionamiento resulta imposible. Podrías intentar encontrar la respuesta en
una calculadora, y según el número de decimales con la cual la tengas
programada, obtendrás algunos resultados: 1.4142135 esta es la respuesta de √2
con siete decimales, pero la cifra se irá alargando pues tiene infinitos
decimales. De esta manera podemos definir a los números irracionales como un
decimal infinito no periódico, es decir que cualquier representación de un
número irracional, solo es una aproximación en números racionales.
Propiedades de los números irracionales
Además de ser un número infinito decimal no periódico, los números
irracionales tienen otras propiedades como:
Propiedad conmutativa: en la suma y la multiplicación se cumple la
propiedad conmutativa según la cual el orden de los factores no altera el
resultado, por ejemplo, π+ϕ = ϕ+π; así como en la multiplicación, π×ϕ=ϕ×π.
Propiedad asociativa: donde la distribución y agrupación de los números
da como resultado el mismo número, de manera independiente a su agrupación,
siendo (ϕ+π)+e=ϕ+ (π+e); y de la misma manera con la multiplicación, (ϕ×π)
×e=ϕ× (π×e).
Elemento opuesto: existe un inverso aditivo, para la suma de números
irracionales, es decir que para cada número tiene su negativo que lo anula, por
ejemplo π-π=0 y de la misma forma un inverso multiplicativo que da como
resultado 1, es decir ϕ×1/ϕ=1.
La multiplicación es distributiva en relación a la suma y a la resta.
Ejemplo: (3+2) π =3π+2π=5π.
Propiedades de los números racionales e irracionales
Los números racionales, son el conjunto de números fraccionarios y números
enteros representados por medio de fracciones. Este conjunto está situado en la
recta real numérica pero a diferencia de los números naturales que son
consecutivos, por ejemplo a 4 le sigue 5 y a este a su vez le sigue el 6, y los
números negativos cuya consecución se da así, a -9 le sigue -8 y a este a su
vez le sigue -7; los números racionales no poseen consecución pues entre cada
número racional existen infinitos números que solo podrían ser escritos durante
toda la eternidad.
Propiedad interna.- según la cual al sumar dos números racionales, el
resultado siempre será otro número racional, aunque este resultado puede ser
reducido a su mínima expresión si el caso necesitara.
Propiedad asociativa.- se dice que si se agrupa los diferentes sumandos
racionales, el resultado no cambia y seguirá siendo un número racional.
Propiedad conmutativa.- donde en la operación, si el orden
de los sumando varía, el resultado no cambia.
Elemento neutro.- el elemento neutro, es una cifra nula la cual si
es sumada a cualquier número racional, la respuesta será el mismo número
racional.
Inverso aditivo o elemento opuesto.- es la propiedad de números
racionales según la cual, existe un elemento negativo que anula la existencia
del otro. Es decir que al sumarlos, se obtiene como resultado el cero.
Propiedad interna.- en razón de que al multiplicar números
racionales, el resultado también es un número racional.
Propiedad asociativa.- donde al agrupar diferentes factores la forma de
la agrupación, no altera el producto.
Propiedad conmutativa.- aquí se aplica la famosa frase, el
orden de los factores no altera el producto, entre los números racionales
también funciona.
Propiedad distributiva.- al combinar sumas y
multiplicaciones, el resultado es igual a la suma de los factores multiplicado
por cada uno de los sumandos.
Elemento neutro.- en la multiplicación y la división de números
racionales, existe un elemento neutro que es el número uno, cuyo producto o
cociente con otro número racional, dará como resultado el mismo número.
Propiedades de los números irracionales
Además de ser un número infinito decimal no periódico, los números
irracionales tienen otras propiedades como:
Propiedad conmutativa: en la suma y la multiplicación se cumple la
propiedad conmutativa según la cual el orden de los factores no altera el
resultado, por ejemplo, π+ϕ = ϕ+π; así como en la multiplicación, π×ϕ=ϕ×π.
Propiedad asociativa: donde la distribución y agrupación de los números
da como resultado el mismo número, de manera independiente a su agrupación,
siendo (ϕ+π)+e=ϕ+ (π+e); y de la misma manera con la multiplicación, (ϕ×π)
×e=ϕ× (π×e).
Elemento opuesto: existe un inverso aditivo, para la suma de números
irracionales, es decir que para cada número tiene su negativo que lo anula, por
ejemplo π-π=0 y de la misma forma un inverso multiplicativo que da como
resultado 1, es decir ϕ×1/ϕ=1.
La multiplicación es distributiva en relación a la suma y a la resta.
Ejemplo: (3+2) π =3π+2π=5π.
Propiedades de los números imaginarios
Surge la pregunta ¿qué es un número imaginario? Para dar de los números
imaginarios una definición, podríamos decir que es un número cuya potenciación
es negativa. Es decir que cuando se eleva al cuadrado o se multiplica por sí
mismo, su resultado es negativo.
Si se eleva al cuadrado a cualquier otro número real su resultado
siempre será positivo. Por ejemplo cinco al cuadrado o 5², es decir 5 × 5 da
como resultado 25. En su defecto, -5² a pesar de ser un número negativo su
resultado también será positivo debido a que -5 × -5 anula su negatividad y da
como resultado 25.
Por lo tanto un número potenciado que de resultado negativo solo puede
suceder en la imaginación, pero a pesar de parecer imposibles los números complejos e imaginarios
son muy útiles y tienen una utilidad real para resolver problemas que de otra
manera serían un fracaso.
Propiedades de los números imaginarios
La suma de los números imaginarios es cerrada, lo cual
significa que si se suman dos números imaginarios, el resultado también será un
número imaginario.
Tiene una propiedad conmutativa, el orden de los sumandos no altera la
adición.
También una propiedad distributiva, donde la suma de dos números multiplicada
por un tercer número es igual a la suma del producto de cada sumando
multiplicado por el tercer número.
Durante la sustracción, por cada número imaginario, existe
un número negativo cuya adición dará como resultado cero.
Existe un número neutro que al ser sumado a cualquier
número, el resultado será el mismo número.
Mientras que para la multiplicación o producto
encontramos que:
El producto, al igual que la suma, también es cerrado, lo cual significa
que al multiplicar números complejos entre sí, el resultado también es un
número imaginario puro.
En este caso hay una propiedad conmutativa, que dice que si se altera el
orden de los números complejos e imaginarios, no se altera el resultado.
También posee una propiedad distributiva.
Y por cada número imaginario también existe un inverso multiplicativo
cuyo resultado del producto de ambos, es igual a 1.
De la misma manera para la raíz cuadrada de cualquier
número real negativo el resultado siempre será un número imaginario.
Partiendo de tal premisa, podemos anotar lo siguiente: √-25 = √25 × -1 =
√25 √-1 = 5i.
